Trazados de Bode

Los trazados de Bode consisten en la representación gráfica de la ganancia (trazado de ganancia) en decibelios y el argumento o desfase (trazado de fase) de la función de red H(s) en función de la frecuencia f o w para obtener las curvas de amplificación del circuito en RPS.

En la función de red:

H(s) = Vo / Vg = N(s) / D(s)

arg H = arg Vo - arg Vg

en que Vo y Vg son los fasores de las tensiones de entrada y de salida. N(s) y D(s) indican, respectivamente, numerador y denominador de la función de red.

Representación en polos i zeros

Son las raíces de los polinomios del numerador y del denominador de una función de red.

Los zeros (Zi) son las raíces del numerador, en que H(s) = 0. Por tanto, los zeros son los puntos en los que la función de red alcanza el zero.

Los polos (Pi) son las raíces del denominador y, por tanto, los puntos en que la función de red alcanza infinito.

Hay que tener en cuenta que si las raíces son complejas los complejos conjugados se indican Zi* para los zeros y Pi* para los polos.

Trazados de Bode

La ganancia en decibelios (GdB): 20log│H(jw)│

Se representan en la escala logarítmica:

 x = klogf. Las unidades de k son unidades/década.

La escala puede estar dividida en décadas o en octavas:

nº decadas = log(f2/f1)

nº octavas = log2(f2/f1)

Entre décadas y octavas se establece la siguiente equivalencia: 10nº decadas = 2nº octavas, y por tanto:

nº décadas = nº octavas · 0,3

Transformadores

En esta entrada se resumen las clases de los días 18, 22 y 25 de abril en las que vimos en qué 

consisten los transformadores.

Un transformador es un dispositivo eléctrico que consiste en dos bobinas acopladas magnéticamente alrededor de un núcleo común y sirve para cambiar voltajes, corrientes e impedancias.  

El devanado conectado a la fuente de entrada, se denomina primario y el secundario es el devanado que está conectado a la salida del circuito. El numero de vueltas de cada devanado en el circuito se designa por N1 en el primario y N2 en el secundario.

El transformador ideal es un modelo circuital del dispositivo eléctrico que consiste en un elemento formado por un puerto de entrada (de tensión v1 y corriente i1) y un puerto de salida (de tensión v2 y corriente i2). Por tanto, está definido por las ecuaciones: v1 = nv2 y ni1 = -i2. La relación de transformación n, es un número real positivo y es el cociente entre las tensiones y corrientes en el primario y el secundario. También se denomina conversor de impedancias, ya que actúa como un multiplicador de impedancias por n2. El efecto sobre una resistencia R es n2R  y en una inductancia L es L n2.

A pesar de que realmente no existe ningún dispositivo que admita el modelo circuital del transformador  ideal, el más parecido es el transformador perfecto. Consiste en un núcleo de ferrita, que puede tener forma de toroide, en el cual se devanan dos espiras.  

Dadas las ventajas del transformador ideal, el objetivo del transformador perfecto consiste en adquirir un comportamiento de la forma más parecida posible al transformador ideal. Para conseguirlo,  hay dos posibilidades:

- Tener un número elevado de espiras en N1 con el inconveniente de que el dispositivo sea muy grande.

- Que el núcleo tenga una alta permeabilidad magnética y, en consecuencia los materiales necesarios para fabricar transformadores sean el cobre y la ferrita. Al ser dos tipos de materiales caros, elevan el precio total del dispositivo.

Otra opción es la cancelación de la inductancia del primario mediante un condensador en paralelo.

A parte del tema de transformadores, también se definió el teorema de la máxima transmisión de potencia.

El teorema de la máxima transmisión de potencia establece que, en un circuito, la máxima potencia disponible de un generador (P_DMAX) es el módulo de módulo del fasor Vg dividido entre 8 veces la resistencia Rg (resistencia interna del generador).

Líneas de transmisión

En las clases del 15 y del 18 de abril hemos visto el tema  de líneas de transmisión.

Las líneas de transmisión se caracterizan por una impedancia Zo que equivale la raíz cuadrada de Ld (inductancia) entre Cd (capacidad distribuïda).

Permiten transferir potencia aunque haya una distancia grande entre el generador vg y la resistencia RL.

Potencias (2)

En la clase del 11 de abril, hemos seguido con el tema de potencias.

La potencia media se encuentra: Pm = (VRMS)^2/RL

A continuación hemos comprobado como se calcula la potencia asociada a un bipolo:

- Potencia instantánea: P(t) = Vmcos(wot+a)Imcos(wot+b) = 1/2 · (Vm^2)·Re[Y]

- Valor medio de la potencia: fasor P(t) = 1/2 · (fasor I)^2 · Re[Z]

Además, hay que tener en cuenta que si el bipolo es:

• Un resistor: Pm = 1/2 · Vm · Im porque (a-b) = 0

• Un condensador o un inductor: Pm = 0 porque (a-b =  /2)

A continuación, se ha definido el valor cuadrático medio o valor eficaz (VRMS) como el valor de tensión contínua que con un mismo resistor proporciona la misma potencia para un generador arbitrario. 

Por último, hemos calculado potencias en dBm.

Potencias (1)

En la clase del dia 8 de abril se ha presentado el concepto de potencia: P(t) = v(t)·i(t)

Las unidades de la potencia son los vatios (w) = joule (J) / segundo (s).

También hemos visto que los descriptores parciales de señales son:

1. Valor medio

Se determina una área que tiene que ser igual en continua. Se busca la tensión para un mismo intervalo subiendo o bajando la amplitud.

2. Valor eficaz, valor cuadrático medio, root mean square (RMS)

El valor de la tensión v(t) se eleva al cuadrado para evitar que en los gráficos de las tensiones bipolares, las áreas positivas y negativas se cancelen.

VRMS  es la raíz cuadrada del fasor v(t)^2

Finalmente, hemos comprobado mediante ejemplos que el valor de la potencia media se calcula:

P(t) = V·I = (V2/R) = I2·R

Y que el valor medio se puede medir con un filtro paso bajo.

Por último, y más concretamente, hemos visto como en el cálculo de potencias no se puede aplicar superposición.

Amplificador Operacional

En la clase de hoy se ha explicado el funcionamiento del amplificador operacional.

El amplificador operacional es un dispositivo con 8 terminales (DIL, dual in line):

- Terminal de salida
- Terminal de polarización positiva
- Terminal de polarizacioón negativa
- Terminal de entrada inversor
- Terminal de entrada no inversor

Con el objetivo de simplificar el análisis de circuitos lineales con estos dispositivos se usa el método de aproximación de "caja negra" que consiste en:

 1) Asignar el valor 0 a las corrientes de entrada positiva (i+) y negativa (i-).
 2) Vo es independiente de RL.
 3) Vo = f (V+ - V-)

 Por tanto a partir del modelo circuital se deduce que

 10^5 (V+ - V-) = Vsat
 
 Vsat/10^5 <= (V+ - V-)

 Por ello, tiene que estar en la zona de validez es decir, si está en la zona lineal.

 A partir de este método, para incorporar el amplificador operacional a los circuitos se tiene en cuenta:
 
 - la realimentación negativa
 - cortocircuito virtual


 Por último, se ha definido el potenciómetro cómo un dispositivo que permite hacer resistencias de valor ajustable. 

Circuitos asintóticos. Procedimiento metódico.

En la clase de hoy, se ha hecho un repaso al concepto de circuitos asintóticos y se ha presentado, mediante ejemplos, un procedimiento metódico para calcular las tensiones en los circuitos.

   

CIRCUITOS ASINTÓTICOS

  

Se asigna:

    

      S = 0, w = 0

         - La bobina es como un cortocircuito y el condensador un circuito abierto.

         - La función de red H(S) = 0.

      S y w infinito

          - La bobina es como un circuito abierto y el condensador un cortocircuito.

          - El límite de H(s) tiende a infinito.

   

PROCEDIMIENTO METÓDICO

  

Permite calcular las variables de los circuitos. Consiste en:  

  

   1- Elegir nodo de referencia.

   2- Asignar numeración correlativa al resto de nodos.

   3- Escribir KCL.

En general, el numero de tensiones nodales (y, por tanto, el número de ecuaciones linealmente independientes) es:  tensiones nodales = N nodos - 1.

Además hay que tener en cuenta que si hay una fuente de tensión, el número de incógnitas es N - 2, ya que se desconoce el valor de la corriente y, en consecuencia, hay una ecuación menos.

En cambio si hay fuentes controladas de tensión, el valor de la tensión nodal se expresará en función de las otras tensiones.

Por último, analizando el circuito con fuentes controladas se deduce la posibilidad de generar una sinusoide en la salida según el valor de la constante de la fuente.

Resistencia equivalente en RPS.

En esta clase se ha extendido el concepto de resistencia equivalente a régimen permanente sinusoidal y se han explicado los conceptos de conductancia y admitancia.

Resistencia equivalente en RPS

 
Un circuito con una fuente independiente de corriente (Ig) y una tensión de salida (Vo) tiene como amplificación la resistencia equivalente de todos los elementos lineales del circuito. Por tanto, 

k = Vo / Ig

Bipolo equivalente

Un bipolo a una pulsación concreta (w) en el que hay conectados elementos lineales, se puede sustituir por un bipolo equivalente.

Si la impedancia es: Z = a + bj, según el signo de b (parte imaginaria de Z) el bipolo se sustituye por:

- un condensador, si b<0

- un inductor, si b>0

- un resistor, si b=0

Aun así, dependiendo del circuito, hay diversas combinaciones posibles conectando estos elementos en serie y paralelo.

Impedancia

  

La parte real de la impedancia (Z) es la resistencia (R) y la parte imaginaria es la reactancia (X).

Z(w) = R(w) + jX(w)

Admitancia

La admitancia (Y) es el inverso de la impedancia:

Y (w) = I(fasor corriente)/V(fasor tensión) = 1 / Z(w) = G(w) + jB(w)

La parte real de la admitancia es la conductancia (G) y la parte imaginaria es la susceptancia (B).

Por último, se ha recomendado asegurar errores mínimos en el análisis de circuitos asignando S = jw.

Impedancia. Relaciones salida-entrada.

En primer lugar se ha definido el concepto de impedancia (Z), es decir, el equivalente a la 

resistencia en un circuito en régimen permanente sinusoidal (RPS).

                                  Z = V (fasor tensión) / I (fasor corriente)

Además, hay que tener en cuenta que la impedancia (Z) y la pulsación son indirectamente 

proporcionales. A continuación, se explicaron especificidades de los circuitos en régimen 

permanente sinusoidal (RPS) con estrategias para analizar estos circuitos mediante ejemplos.

Por último, se explicaron las relaciones salida-entrada:  

En los circuitos la tensión de entrada es proporcional a la tensión de salida: 

Vo = k·Vin  donde k es la amplificación. Un ejemplo sencillo de esta característica se puede 

comprobar con el divisor de tensión:

Si Vo = (R2/R1+R2)·Vin , la amplificación es R2/R1+R2.

A partir del concepto de amplificación se ha definido la función del circuito o función de red: H(jw).

En el circuito transformado fasorial (Vo y Vg son fasores de tensión) :

Vo = H(jw) · Vg

argH = argVo - argVg

En RPS, v0 (t) = Vo·cos(wt + argVg + argH(jw)) en que (Vo es el módulo del fasor Vo).

El circuito de la figura es un filtro paso bajo. En este circuito, hay un límite para la

pulsación (w = 1/RC) según el cual:

- si la frecuencia es baja w < 1/RC : la sinusoide aparece en la salida sin desfase y con la misma amplitud que en la entrada

- si la frecuencia es alta w >> 1/RC : la sinusoide de salida tiene amplitud distinta que la de la entrada y está desfasada.

Modelo del Circuito Transformado Fasorial

En la clase del 28 de febrero, se explicó qué es una señal sinusoidal o sinusoide, definida con la ecuación

vg (t) = vM · cos (w0t + α) = vM·cos(2πf0t + α)

en la que vM  es la amplitud, w0 es la pulsación y α el desfase. 

A partir del concepto de fasor asociado a una sinusoide (Vg = vM · ejα), comprobamos cómo se puede simplificar la resolución de circuitos lineales si se resistiviza un circuito. A través del modelo del circuito transformado fasorial (C.T.F) se transforman las ecuaciones de los circuitos en régimen permanente sinusoidal de manera que el circuito se resuelve con ecuaciones de la misma dificultad que en los circuitos resistivos. El CTF está formado por resistores de un valor que depende de cada componente electrónico como se muestra en la siguiente tabla:

Componente electrónico	Valor del resistor en el CTF
R (resistor)	R
L (inductor)	jLw0
C (condensador)	1 / jCw0
vg (fuentes)	Vg

En el CTF los fasores asociados a la corriente que circula por el circuito (i) y a la tensión de salida (v0) dependen de los componentes conectados al circuito. Aun así la ley de ohm también se aplica a estos fasores:

v0 =R·i0      --->   V0 = R·I0

- Si hay un inductor:  V0 = jLw0·I0  y I0 = I0· ejα

- Si hay un condensador: V0 = V0· jα  y I0 = jCw0·V0 

Finalmente, una vez encontrado el fasor Vo se puede encontrar la tensión v0 con la ecuación

v0(t) = Vo · cos (w0t + argVo) 

Características de los Circuitos Lineales

En la clase del 25 de febrero, se destacó la diferencia entre los conceptos de esquema circuital y modelo circuital. 

El esquema circuital es una representación eficaz de la estructura de un circuito con los modelos especificados por el fabricante de cada componente. 

En cambio, el modelo circuital es una representación conceptual de los fenómenos más relevantes que tienen lugar en el circuito. Permite obtener los sistemas de ecuaciones para analizar y calcular con precisión las características de un circuito.

A continuación, se han descrito los elementos lineales que se encuentran en los circuitos:

1. RESISTOR

v = R·i

  

2. CONDENSADOR

Q = C·v

i = C·(dv/dt)

3. AUTOINDUCTANCIA

 v = L·(d/dt)

4. GENERADORES DE TENSIÓN

5. FUENTE DE CORRIENTE

 

  

6. FUENTES CONTROLADAS

- De tensión controlada por tensión

- De corriente controlada por tensión

 

  

- De tensión controlada por corriente

- De corriente controlada por corriente

  

Finalmente, hemos comprobado matemáticamente que los resultados en los circuitos lineales se obtienen a partir de ecuaciones diferenciales mientras que los circuitos resistivos (como el divisor de tensión) se resuelven a partir del cálculo de KVL, KCL y la ley de ohm.